Ciąg Fibonacciego

Na dzisiejszych zajęciach dowiemy się:

jaki jest algorytm ciągu Fibonacciego;
jakie znaczenie ma śledzenie działania algorytmu.

KRÓLIKI i CIĄG FIBONACCIEGO

Poznamy na dzisiejszej lekcji ciekawy ciąg, który ma swoje odwzorowanie w przyrodzie. Ciąg ten został określony przez matematyka Fibonacciego, który rozważał problem rozmnażania się królików:).

Problem, który rozważał Fibonacci:

Na początku w gospodarstwie jest młoda para królików. Po upływie miesiąca są już dorosłe i mogą się rozmnażać. Co miesiąc dorosłej parze rodzi się nowa para królików. Ile par królików będzie w gospodarstwie po roku?

Zakładamy, że króliki rozmnażają się bez przeszkód i nie umierają.

Przeanalizujmy całą sytuację:

W pierwszym miesiącu jest jedna para młodych królików.
Na początku drugiego miesiąca samica może mieć już młode, ale wciąż jest jedna para królików.
Na początku trzeciego miesiąca samica rodzi parę królików i teraz są już dwie pary.
Na początku czwartego miesiąca samica rodzi drugą parę królików – w gospodarstwie są już trzy pary królików.
Na początku piątego miesiąca samica znów rodzi parę królików, a samica, która urodziła się dwa miesiące temu, rodzi nową parę. Zatem w gospodarstwie jest już pięć par królików. (Trzy pary z poprzedniego miesiąca i dwie nowe pary)
….i tak dalej
W dwunastym miesiącu w gospodarstwie jest już 144 par królików – bo tyle wynosi 12 wyraz ciągu Fibonacciego!

Zapiszemy te rozważania w tabeli:

Liczba miesięcy	Liczba par dorosłych królików	Liczba wszystkich par królików	Komentarz
1	0	1	Pojawia się młoda para królików
2	1	1	Pierwsza para królików osiąga dojrzałość
3	1	2	Po miesiącu rodzi się następna para królików
4	2	3	Druga para osiąga dojrzałość, a pierwsza się rozmnaża
5	3	5	Trzecia para osiąga dojrzałość, a dwie pierwsze się rozmnażają

Ciąg Fibonacciego -tworzą liczby naturalne o takiej własności, że kolejny wyraz ( z wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą dwóch poprzednich.

Zadanie! (ocena – aktywność na zajęciach!)

Wykonaj symulacje ciągu Fibonacciego w programie Excel – do 36 miesiąca. Jak zaprojektować taki program obliczeniowy? Czy potrafisz zrealizować to zadanie?

ALGORYTM WYZNACZANIA CIĄGU FIBONACCIEGO

Algorytm obliczeń wynika ze wzoru definiującego ciąg. Jeśli n wynosi 1 lub 2 to wynikiem jest jeden (1). W każdym innym przypadku wynik stanowi sumę dwóch poprzednich wyrazów. Ten algorytm z natury jest rekurencyjny. Aby to zapisać skorzystaj z programu SNAP! Jest to rozbudowana wersja Scratcha. W Scratchu nie można tworzyć jeszcze własnych funkcji, czyli bloków zwracających wartość.

wpisz w oknie przeglądarki adres strony programu SNAP – snap.berkeley.edu – jest tu więcej bloków niż w Scratchu.
Zbuduj w tym programie – skrypt, który będzie obliczał kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego.
Wykonaj skrypt według zaleceń z podręcznika (funkcja fib) – strona 78 podręcznik – praca dodatkowa na ocenę (celujący).
Ciąg Fibonacciego można wyznaczyć w programie Scratch – jeśli mamy dwa pierwsze wyrazy – każdy następny powstanie z sumy dwóch poprzednich wyrazów. Ciąg liczb można wyznaczyć w Scratchu w postaci listy.
Wybierz grupę bloków Dane i kliknij stwórz listę.
Wpisz jej nazwę np: ciąg fib. i kliknij ok.