Ciąg Fibonacciego

Na dzisiejszych zajęciach dowiemy się:

  • jaki jest algorytm ciągu Fibonacciego;
  • jakie znaczenie ma śledzenie działania algorytmu.

KRÓLIKI i CIĄG FIBONACCIEGO

Poznamy na dzisiejszej lekcji ciekawy ciąg, który ma swoje odwzorowanie w przyrodzie. Ciąg ten został określony przez matematyka Fibonacciego, który rozważał problem rozmnażania się królików:).

Problem, który rozważał Fibonacci:

Na początku w gospodarstwie jest młoda para królików. Po upływie miesiąca są już dorosłe i mogą się rozmnażać. Co miesiąc dorosłej parze rodzi się nowa para królików. Ile par królików będzie w gospodarstwie po roku?

Zakładamy, że króliki rozmnażają się bez przeszkód i nie umierają.

Przeanalizujmy całą sytuację:

  1. W  pierwszym miesiącu jest jedna para młodych królików.
  2. Na początku drugiego miesiąca samica może mieć już młode, ale wciąż jest jedna para królików.
  3. Na początku trzeciego miesiąca samica rodzi parę królików i teraz są już dwie pary.
  4. Na początku czwartego miesiąca samica rodzi drugą parę królików – w gospodarstwie są już trzy pary królików.
  5. Na początku piątego miesiąca samica znów rodzi parę królików, a samica, która urodziła się dwa miesiące temu, rodzi nową parę. Zatem w gospodarstwie jest już pięć par królików. (Trzy pary z poprzedniego miesiąca i dwie nowe pary)
  6. ….i tak dalej
  7. W dwunastym miesiącu w gospodarstwie jest już 144 par królików – bo tyle wynosi 12 wyraz ciągu Fibonacciego!

Zapiszemy te rozważania w tabeli:

Liczba miesięcy Liczba par dorosłych królików Liczba wszystkich par królików Komentarz
1 0 1 Pojawia się młoda para królików
2 1 1 Pierwsza para królików osiąga dojrzałość
3 1 2 Po miesiącu rodzi się następna para królików
4 2 3 Druga para osiąga dojrzałość, a pierwsza się rozmnaża
5 3 5 Trzecia para osiąga dojrzałość, a dwie pierwsze się rozmnażają

Ciąg Fibonacciego -tworzą liczby naturalne o takiej własności, że kolejny wyraz ( z wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą dwóch poprzednich.

Zadanie! (ocena – aktywność na zajęciach!)

Wykonaj symulacje ciągu Fibonacciego w programie Excel – do 36 miesiąca. Jak zaprojektować taki program obliczeniowy? Czy potrafisz zrealizować to zadanie?

ALGORYTM WYZNACZANIA CIĄGU FIBONACCIEGO

Algorytm obliczeń wynika ze wzoru definiującego ciąg. Jeśli n wynosi 1 lub 2 to wynikiem jest jeden (1). W każdym innym przypadku wynik stanowi sumę dwóch poprzednich wyrazów. Ten algorytm z natury jest rekurencyjny. Aby to zapisać skorzystaj z programu SNAP! Jest to rozbudowana wersja Scratcha. W Scratchu nie można tworzyć jeszcze własnych funkcji, czyli bloków zwracających wartość.

  • wpisz w oknie przeglądarki adres strony programu SNAP – snap.berkeley.edu – jest tu więcej bloków niż w Scratchu.
  • Zbuduj w tym programie – skrypt, który będzie obliczał kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego.
  • Wykonaj skrypt według zaleceń z podręcznika (funkcja fib) – strona 78 podręcznik – praca dodatkowa na ocenę (celujący).
  • Ciąg Fibonacciego można wyznaczyć w programie Scratch – jeśli mamy dwa pierwsze wyrazy – każdy następny powstanie z sumy dwóch poprzednich wyrazów. Ciąg liczb można wyznaczyć w Scratchu w postaci listy.
  • Wybierz grupę bloków Dane i kliknij stwórz listę.
  • Wpisz jej nazwę np: ciąg fib. i kliknij ok.

Wystarczy teraz na koniec tej listy wkładać sumę dwóch ostatnich wyrazów i ciąg będzie przyrastać.

Na rysunku str 79 rys. 4 przedstawiono jak można uzyskać dwa ostatnie wyrazy listy.

Dla ciekawych:

Wykonaj zadania z podręcznika strona 80 zadania od 1 -3.

 

About Post Author

Skip to content